函數(shù)的奇偶性可通過觀察自變量取正負(fù)值時函數(shù)值的變化判斷：代入 -x：將 -x 代入函數(shù) f(x) 中，得到 f(-x)。比較：將 f(-x) 與 f(x) 進(jìn)行比較。判斷：若 f(-x) = f(x)，則 f(x) 為偶函數(shù)；若 f(-x) = -f(x)，則 f(x) 為奇函數(shù)；若不相等，則 f(x) 不是奇偶函數(shù)。

如何判斷函數(shù)的奇偶性

函數(shù)的奇偶性可以通過觀察它的函數(shù)值在自變量取正負(fù)值時的變化來判斷。

定義

函數(shù) f(x) 具有以下性質(zhì)：

• 偶函數(shù)： 當(dāng) x 取 -x 時，f(-x) = f(x)
• 奇函數(shù)： 當(dāng) x 取 -x 時，f(-x) = -f(x)

判斷步驟

1. 代入 -x：將 -x 代入函數(shù) f(x) 中，得到 f(-x)。
2. 比較：將 f(-x) 與 f(x) 進(jìn)行比較。

3. 判斷：

   • 若 f(-x) = f(x)，則 f(x) 是偶函數(shù)。
   • 若 f(-x) = -f(x)，則 f(x) 是奇函數(shù)。
   • 若 f(-x) 與 f(x) 不相等，則 f(x) 不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。

常見奇偶函數(shù)

• x^n（n 為偶數(shù)）：偶函數(shù)
• x^n（n 為奇數(shù)）：奇函數(shù)
• sin(x)：奇函數(shù)
• cos(x)：偶函數(shù)
• tan(x)：奇函數(shù)
• cot(x)：奇函數(shù)

應(yīng)用

函數(shù)的奇偶性在積分和微分中具有廣泛的應(yīng)用。例如，如果 f(x) 是偶函數(shù)，則其定積分在對稱區(qū)間上為偶函數(shù)；如果 f(x) 是奇函數(shù)，則其定積分在對稱區(qū)間上為奇函數(shù)。